Qu'est-ce que la distribution de Poisson?

La distribution de Poisson est un outil utilisé dans les statistiques de la théorie des probabilités Test d'hypothèse Le test d'hypothèse est une méthode d'inférence statistique. Il est utilisé pour tester si une déclaration concernant un paramètre de population est correcte. Test d'hypothèse pour prédire la quantité de variation par rapport à un taux d'occurrence moyen connu, dans un laps de temps donné.

En d'autres termes, si la vitesse moyenne à laquelle un événement spécifique se produit dans un laps de temps spécifié est connue ou peut être déterminée (par exemple, l'événement «A» se produit, en moyenne, «x» fois par heure), alors la distribution de Poisson peut être utilisé comme suit:

  • Pour déterminer la variation probable de ce nombre moyen d'occurrences
  • Pour déterminer le nombre maximum et minimum probable de fois où l'événement se produira dans le délai spécifié

Thème de la distribution de Poisson

Société de sociétés Une société est une entité juridique créée par des personnes physiques, des actionnaires ou des actionnaires, dans le but de réaliser des activités lucratives. Les sociétés sont autorisées à conclure des contrats, à intenter des poursuites et à être poursuivies en justice, à posséder des actifs, à verser des impôts fédéraux et d'État et à emprunter de l'argent auprès d'institutions financières. peuvent utiliser la distribution de Poisson pour examiner comment ils peuvent prendre des mesures pour améliorer leur efficacité opérationnelle. Par exemple, une analyse effectuée avec la distribution de Poisson pourrait révéler comment une entreprise peut organiser la dotation en personnel Taux de rotation des employés Le taux de rotation des employés est la proportion d'employés qui quittent l'entreprise pendant une certaine période. Apprenez à calculer le taux de rotation des employés. afin de mieux gérer les périodes de pointe des appels au service client.

Pour en savoir plus, consultez le cours Math for Finance de Finance

L'histoire de la distribution de Poisson

Comme de nombreux outils statistiques et mesures de probabilité, la distribution de Poisson a été appliquée à l'origine au monde du jeu. En 1830, le mathématicien français Siméon Denis Poisson a développé la distribution pour indiquer la propagation faible à élevée du crack Spread Le crack spread fait référence à la différence de prix entre un baril de pétrole brut et ses sous-produits tels que l'essence, le mazout, le carburéacteur, le kérosène, la base d'asphalte , carburant diesel et mazout. Le raffinage du pétrole brut en divers composants a toujours été volatil du point de vue des revenus. du nombre probable de fois qu'un joueur gagnerait à un jeu de hasard - tel que le baccarat - dans un grand nombre de fois que le jeu a été joué. (Malheureusement, le joueur n'a pas prêté attention à la prédiction de Poisson sur les probabilités qu'il n'obtienne qu'un certain nombre de victoires,et perdu beaucoup.)

Le large éventail d'applications possibles de l'outil statistique de Poisson est devenu évident plusieurs années plus tard, pendant la Seconde Guerre mondiale, lorsqu'un statisticien britannique l'a utilisé pour analyser les coups de bombe dans la ville de Londres. RD Clarke a affiné la distribution de Poisson en tant que modèle statistique et a travaillé pour rassurer le gouvernement britannique sur le fait que les bombes allemandes sont tombées au hasard, ou purement par hasard, et que ses ennemis manquaient d'informations suffisantes pour cibler certaines zones de la ville.

Depuis lors, la distribution de Poisson a été appliquée à un large éventail de domaines d'études, notamment la médecine, l'astronomie, les affaires et les sports.

Lorsque la distribution de Poisson est valide

La distribution de Poisson n'est un outil d'analyse probabiliste valide que sous certaines conditions. C'est un modèle statistique valide si toutes les conditions suivantes existent:

  • k est le nombre de fois qu'un événement se produit dans une période de temps spécifiée, et les valeurs possibles pour k sont des nombres simples tels que 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
  • Aucune occurrence de l'événement analysé n'affecte la probabilité que l'événement se reproduise (les événements se produisent indépendamment).
  • L'événement en question ne peut pas se produire deux fois exactement au même moment. Il doit y avoir un intervalle de temps - même si juste une demi-seconde - qui sépare les occurrences de l'événement.
  • La probabilité qu'un événement se produise dans une partie de la période totale examinée est proportionnelle à la longueur de cette plus petite partie de la période.
  • Le nombre d'essais (chances que l'événement se produise) est suffisamment supérieur au nombre de fois où l'événement se produit réellement (en d'autres termes, la distribution de Poisson n'est conçue que pour être appliquée à des événements qui se produisent relativement rarement).

Compte tenu des conditions ci-dessus, alors k est une variable aléatoire et la distribution de k est une distribution de Poisson.

La formule de distribution

Vous trouverez ci-dessous la formule de distribution de Poisson, où le nombre moyen (moyen) d'événements dans un laps de temps spécifié est désigné par μ. La formule de probabilité est:

P ( x ; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Où:

x = nombre de fois et l'événement se produit pendant la période

e (nombre d'Euler = la base des logarithmes naturels) est d'env. 2,72

X! = la factorielle de x (par exemple, si x vaut 3 alors x! = 3 x 2 x 1 = 6)

Voyons la formule en action:

Disons qu'en moyenne, le volume de vente quotidien des téléviseurs 4K-UHD de 60 pouces chez XYZ Electronics est de cinq. Calculez la probabilité que XYZ Electronics vende neuf téléviseurs aujourd'hui.

  • μ = 5, puisque cinq téléviseurs de 60 pouces sont la moyenne des ventes quotidiennes
  • x = 9, car nous voulons résoudre la probabilité que neuf téléviseurs soient vendus
  • e = 2,71828

Insérez les valeurs dans la formule de distribution: P ( x ; μ) = (e-μ) (μx) / x!

= (2,71828-5) (59) / 9!

= (0,0067) (1953125) / (3262880)

= 0,036

3,6% est la probabilité que neuf téléviseurs de 60 pouces soient vendus aujourd'hui.

Pour en savoir plus, consultez le cours de mathématiques financières de Finance.

Exemples: utilisations commerciales de la distribution de Poisson

La distribution de Poisson peut être appliquée dans la pratique à plusieurs opérations commerciales qui sont courantes pour les entreprises. Comme indiqué ci-dessus, l'analyse des opérations avec la distribution de Poisson peut fournir à la direction de l'entreprise des informations sur les niveaux d'efficacité opérationnelle et suggérer des moyens d'augmenter l'efficacité et d'améliorer les opérations .

Voici quelques-unes des façons dont une entreprise peut utiliser l'analyse avec la distribution de Poisson.

  • Vérifiez que le personnel du service à la clientèle est adéquat . Calculez le nombre moyen d'appels au service client par heure dont le traitement nécessite plus de 10 minutes. Ensuite, calculez la distribution de Poisson pour trouver le nombre maximum probable d'appels par heure qui pourraient nécessiter plus de dix minutes de traitement. En supposant que le nombre maximum d'appels de plus de 10 minutes se produit, évaluez si la dotation en personnel du service client est suffisante pour gérer tous les appels sans que les clients attendent en attente.
  • Utilisez la formule de Poisson pour évaluer s'il est financièrement viable de garder un magasin ouvert 24 heures par jour . Calculez le nombre moyen de ventes effectuées par le magasin pendant le quart de nuit - la période de minuit à 8 heures du matin. À l'aide de la formule de distribution, calculez ensuite le nombre de ventes le plus bas probable qui pourrait être réalisé pendant le quart de nuit.

Enfin, déterminez si ce chiffre de vente probable le plus bas représente un revenu suffisant pour couvrir tous les coûts (salaires et traitements, électricité, etc.) de maintien du magasin ouvert pendant cette période, tout en procurant un bénéfice raisonnable.

  • Examiner et évaluer la couverture d'assurance commerciale . Déterminez le nombre moyen de sinistres ou de sinistres qui surviennent chaque année et qui sont couverts par l'assurance commerciale de l'entreprise. Ensuite, effectuez un calcul de probabilité de Poisson pour déterminer le nombre maximum et minimum de réclamations qui pourraient raisonnablement être déposées au cours d'une année.

Passez en revue le coût de votre assurance et la couverture qu'elle offre. Demandez-vous si vous payez trop cher, c'est-à-dire si vous payez pour un niveau de couverture dont vous n'avez probablement pas besoin, étant donné le nombre maximum probable de réclamations.

Alternativement, vous pouvez constater que vous êtes sous-assuré - que si ce que la distribution de Poisson indique comme le plus grand nombre probable de réclamations se produisait réellement un an, votre couverture d'assurance serait insuffisante pour couvrir les pertes.

Personnel du service à la clientèle

Résumé

La distribution de Poisson peut être un outil statistique utile que vous pouvez utiliser pour évaluer et améliorer les opérations commerciales. Excel propose une fonction de Poisson Fonction POISSON.DIST La fonction POISSON.DIST est classée sous les fonctions statistiques d'Excel. Il calculera la fonction de masse de probabilité de Poisson. En tant qu'analyste financier, POISSON.DIST est utile pour prévoir les revenus. En outre, nous pouvons l'utiliser pour prédire le nombre d'événements qui traiteront tous les calculs de probabilité pour vous - il suffit de brancher les chiffres.

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