Étant donné plusieurs événements, la règle d'addition pour les probabilités est utilisée pour calculer la probabilité qu'au moins un des événements se produise. La probabilité peut être définie comme la branche des mathématiques qui quantifie la certitude ou l'incertitude d'un événement ou d'un ensemble d'événements.
Concepts associés
Avant de comprendre la règle d'addition, il est important de comprendre quelques concepts simples:
- Espace échantillon : c'est l'ensemble de tous les événements possibles. Par exemple, lorsque vous lancez une pièce de monnaie, l'espace échantillon est {Heads, Tails} car les têtes et les queues sont tous les résultats possibles.
- Événement : en probabilité, un événement est défini comme un résultat particulier. Par exemple, lancer une pièce et gagner des têtes est un événement.
- Evénements mutuellement exclusifs : ce sont des événements tels que si l'un se produit, l'autre ne peut pas se produire. Encore une fois, dans l'exemple des pièces de monnaie, si nous obtenons des têtes, nous ne pouvons pas obtenir de queues. Par conséquent, les deux sont des événements mutuellement exclusifs.
- Événements mutuellement exhaustifs : événements qui, ensemble, englobent tout l'espace d'échantillonnage. Dans le cas de lancer une pièce, obtenir des têtes et obtenir des queues sont mutuellement exhaustifs car tout l'espace échantillon est {Heads, Tails}.
- Événements indépendants : événements qui se produisent indépendamment les uns des autres. Par exemple, lors du retournement de deux pièces, le résultat de la deuxième pièce est indépendant du résultat de la première pièce.
La formule pour calculer la probabilité de deux événements A et B est donnée par:
Où:
- P (A ∪ B) - Probabilité que A ou B se produise
- P (A) - Probabilité de l'événement A
- P (B) - Probabilité de l'événement B
- P (A ∩ B) - Probabilité que A et B se produisent ensemble
Le diagramme de Venn suivant illustre comment et pourquoi la formule fonctionne:
Comme indiqué ci-dessus, nous soustrayons le terme P (AB) car il serait compté deux fois lors de l'ajout de P (A) et P (B).
Calcul de P (A ∩ B)
La probabilité que les événements A et B se produisent tous les deux - P (A ∩ B) - peut être facilement calculée si les événements sont indépendants l'un de l'autre en multipliant les deux probabilités P (A) et P (B) comme indiqué ci-dessous:
Si A et B sont des événements indépendants, alors:
Si les événements A et B ne sont pas indépendants l'un de l'autre, la probabilité peut être déduite de la nature des événements, ou elle est autrement difficile à déterminer.
Des événements mutuellement exclusifs
En cas d'événements mutuellement exclusifs Evénements mutuellement exclusifs En statistique et en théorie des probabilités, deux événements s'excluent mutuellement s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. L'exemple le plus simple d'exclusion mutuelle, la probabilité que les deux événements se produisent en même temps est nulle par définition car si l'un se produit, l'autre ne peut pas. Par conséquent, pour les événements A et B qui s'excluent mutuellement, il y a:
Notez le fait que les événements mutuellement exclusifs ne sont pas indépendants car si P (A) et P (B) sont des probabilités non nulles, alors P (AB) = P (A) * P (B) ne peut pas être nul. En fait, de par leur définition même des événements mutuellement exclusifs, ils dépendent de l'absence de l'autre événement. Le schéma ci-dessous illustre le concept:
Exemple numérique
Passons à un exemple numérique qui illustre le concept. Supposons deux événements indépendants, A et B. Soit P (A) = 0,6 et P (B) = 0,4. Alors P (A ∪ B) est donné par:
- P (A) = 0,6
- P (B) = 0,4
P (A ∩ B) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,4 = 0,24
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,6 + 0,4 - 0,24 = 0,76
Par conséquent, P (A ∪ B) est de 76% .
Règles dérivées
La règle d'addition pour les probabilités produit d'autres règles qui peuvent être utilisées pour calculer d'autres probabilités.
Des événements mutuellement exclusifs
Pour les événements mutuellement exclusifs, la probabilité conjointe P (A ∪ B) = 0. On obtient donc:
Probabilité d'exactement l'un des deux événements
La probabilité d'exactement l'un des deux événements peut être calculée simplement en modifiant la règle d'addition comme suit:
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