Que sont les modèles de structure des termes d'équilibre?

Les modèles de structure de terme d'équilibre (également appelés modèles de structure de terme affine) sont des modèles de taux d'intérêt stochastiques utilisés pour estimer la structure de terme théorique correcte. Les modèles de structure des termes d'équilibre estiment le processus stochastique qui décrit la dynamique de la courbe de rendement Courbe de rendement La courbe de rendement est une représentation graphique des taux d'intérêt sur la dette pour une gamme d'échéances. Il montre le rendement qu'un investisseur s'attend à gagner s'il prête son argent pendant une période donnée. Le graphique affiche le rendement d'une obligation sur l'axe vertical et le temps jusqu'à l'échéance sur l'axe horizontal. (la structure du terme).

Les modèles identifient les erreurs de tarification sur le marché obligataire puisque la structure de terme estimée n'est presque jamais égale à la structure de terme réelle du marché. Ils s'intéressent principalement aux variables macroéconomiques lors de l'estimation du processus stochastique pouvant expliquer les variations du taux d'intérêt à court terme Taux d'intérêt Un taux d'intérêt fait référence au montant facturé par un prêteur à un emprunteur pour toute forme de dette donnée, généralement exprimé en pourcentage du mandant. .

Modèles à un facteur et modèles multifactoriels

1. Modèles à un facteur

Les modèles à un facteur fonctionnent sous l'hypothèse qu'il n'existe qu'une seule variable macroéconomique qui affecte la structure par terme des taux d'intérêt. Bien qu'irréalistes, les modèles à un facteur fournissent de bonnes approximations de la structure par terme si les divers facteurs affectant les taux d'intérêt sont fortement corrélés.

2. Modèles multifactoriels

Les modèles multifactoriels partent de l'hypothèse qu'il existe de multiples variables macroéconomiques qui affectent la structure par terme des taux d'intérêt. La précision des modèles multifactoriels augmente à mesure qu'ils intègrent davantage de facteurs. Ces modèles sont généralement très complexes et nécessitent des techniques d'optimisation numérique pour être résolus.

Processus de taux d'intérêt

Un processus de taux d'intérêt est une équation différentielle stochastique générale de la forme:

Où:

• dr est le changement de taux d'intérêt
• h (r) est le taux de dérive, qui est une fonction générale du taux d'intérêt actuel
• dt est le changement de temps
• ϭ (r) est l'écart type du taux d'intérêt actuel
• dW est le changement dans le processus Weiner

Le premier composant sur le côté droit est connu comme le composant de dérive et le second composant sur le côté droit est connu comme le composant de volatilité . Différents modèles d'équilibre modélisent les composants différemment.

1. Processus normal (ou processus gaussien)

Les variations des taux d'intérêt à terme (par rapport au taux au comptant) sont normalement distribuées. Le taux de variation des taux d'intérêt à terme (c'est-à-dire la volatilité des taux d'intérêt à terme) est une fonction croissante du temps et est indépendant du taux d'intérêt actuel. Par exemple, la volatilité du taux d'intérêt à terme à 5 ans est généralement égale ou inférieure à la volatilité du taux d'intérêt à terme à 10 ans.

De plus, la volatilité du taux d'intérêt à terme à 5 ans et celle du taux d'intérêt à terme à 10 ans sont indépendantes du taux d'intérêt courant. Un exemple de modèle de taux d'intérêt utilisant le processus normal est le modèle de Vasicek [d _r = (r ₀ - r) hdt + thatdW].

Le modèle de Vasicek est un modèle de réversion de la moyenne à un facteur dans lequel le taux d'intérêt à court terme converge vers une valeur d'équilibre, r ₀ . Ce modèle a été introduit par le mathématicien tchèque Oldrich Alfons Vasicek, dans son article de 1977, «An Equilibrium Characterization of the Term Structure».

2. Processus normal au carré (ou processus gaussien au carré)

Les variations des taux d'intérêt à terme (par rapport au taux au comptant) sont normalement distribuées. Le taux de variation des taux d'intérêt à terme (volatilité des taux d'intérêt à terme) est une fonction croissante du temps et est directement proportionnel à la racine carrée du taux d'intérêt courant. Un exemple de modèle de taux d'intérêt qui utilise le processus normal au carré est le modèle de Cox-Ingersoll-Ross [d _r = (r ₀ - r) hdt + that √ rdW].

Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (modèle CIR) est un modèle de réversion moyenne à un facteur qui est une généralisation du modèle de Vasicek. Le modèle a été présenté par John Cox, Jonathan Ingersoll et Stephen Ross, dans leur article de 1985, «A Theory of the Term Structure of the Interest Rate»,

3. Processus Log-Normal

Les variations des taux d'intérêt à terme (par rapport au taux au comptant) sont normalement distribuées. Le taux de variation des taux d'intérêt à terme (volatilité des taux d'intérêt à terme) est une fonction croissante du temps et est directement proportionnel au taux d'intérêt courant. Le modèle Black-Derman-Toy [d _r = (r ₀ - r) hdt + ϭrdW] est un exemple de modèle de taux d'intérêt qui utilise le processus log-normal .

Le modèle Black-Derman-Toy est un modèle de réversion moyenne à un facteur qui a été développé par Fischer Black, Emanuel Derman et Bill Toy.

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