Ligne d'allocation de capital (CAL) et portefeuille optimal

La ligne d'allocation de capital (CAL) est une ligne qui représente graphiquement le profil de risque et de rendement des actifs et peut être utilisée pour trouver le portefeuille optimal. Le processus de construction de la CAL pour une collection de portefeuilles est décrit ci-dessous.

Rendement et variance attendus du portefeuille

Par souci de simplicité, nous construirons un portefeuille avec seulement deux actifs risqués.

Le rendement attendu du portefeuille est une moyenne pondérée des rendements attendus de ses actifs individuels et est calculé comme suit:

E (Rp) = w 1 E (R 1 ) + w 2 E (R 2 )

Où w 1 , w 2 sont les pondérations respectives des deux actifs et E (R 1 ), E (R 2 ) sont les rendements attendus respectifs.

Les niveaux de variance se traduisent directement par les niveaux de risque; une variance plus élevée signifie des niveaux de risque plus élevés et vice versa. La variance d'un portefeuille n'est pas seulement la moyenne pondérée de la variance des actifs individuels, mais dépend également de la covariance et de la corrélation des deux actifs. La formule de la variance du portefeuille est donnée comme suit:

Var (R p ) = w2 1 Var (R 1 ) + w2 2 Var (R 2 ) + 2w 1 w 2 Cov (R 1 , R 2 )

Où Cov (R 1 , R 2 ) représente la covariance des deux rendements des actifs. Alternativement, la formule peut être écrite comme suit:

σ 2 p = w 2 1 σ 2 1 + w 2 2 σ 2 2 + 2ρ (R 1 , R 2 ) w 1 w 2 σ 1 σ 2 , en utilisant ρ (R 1 , R 2 ), la corrélation de R 1 et R 2 .

La conversion entre corrélation et covariance est donnée par: ρ (R 1 , R 2 ) = Cov (R 1 , R 2 ) / σ 1 σ 2 .

La variance du rendement du portefeuille est plus grande lorsque la covariance des deux actifs est positive et moins lorsqu'elle est négative. Puisque la variance représente un risque, le risque du portefeuille est plus faible lorsque ses composantes d'actif possèdent une covariance négative. La diversification est une technique qui minimise le risque de portefeuille en investissant dans des actifs à covariance négative.

En pratique, nous ne connaissons pas les rendements et les écarts types des actifs individuels, mais nous pouvons estimer ces valeurs sur la base des valeurs historiques de ces actifs.

La frontière efficace

Une frontière de portefeuille est un graphique qui cartographie tous les portefeuilles possibles avec différentes combinaisons de pondérations d'actifs, avec des niveaux d'écart type du portefeuille représentés graphiquement sur l'axe des x et le rendement attendu du portefeuille sur l'axe des y.

Pour construire une frontière de portefeuille, nous attribuons d' abord des valeurs pour E (R 1 ), E (R 2 ), stdev (R 1 ), stdev (R 2 ) et ρ (R 1 , R 2 ). À l'aide des formules ci-dessus, nous calculons ensuite le rendement et la variance attendus du portefeuille pour chaque combinaison de pondérations d'actif possible (w 2 = 1-w 1 ). Ce processus peut être effectué facilement dans Microsoft Excel, comme indiqué dans l'exemple ci-dessous:

Ligne d'allocation de capital (CAL)

Nous utilisons ensuite le nuage de points avec des lignes lisses pour tracer le rendement attendu et l'écart type du portefeuille. Le résultat est indiqué sur le graphique ci-dessous, où chaque point du graphique représente un portefeuille construit sous une combinaison de pondérations d'actifs.

frontière du portefeuille

Alors, comment savoir quels portefeuilles sont attractifs pour les investisseurs? Pour y répondre, nous introduisons le concept de critère de moyenne-variance , qui stipule que le portefeuille A domine le portefeuille B si E (R A ) ≥ E (R B ) et σ A ≤ σ B (c.-à-d. Que le portefeuille A offre un rendement attendu plus élevé et risque moindre que le portefeuille B). Si tel est le cas, les investisseurs préféreraient A à B.

À partir du graphique, nous pouvons déduire que les portefeuilles sur la partie en pente descendante de la frontière du portefeuille sont dominés par la partie en pente ascendante. Ainsi, les points sur la partie en pente ascendante de la frontière du portefeuille représentent des portefeuilles que les investisseurs trouvent attractifs, tandis que les points sur la partie en pente descendante représentent des portefeuilles inefficaces.

Selon le critère de moyenne-variance, tout investisseur sélectionnerait de manière optimale un portefeuille sur la partie en pente ascendante de la frontière du portefeuille, appelée frontière efficace ou frontière de variance minimale . Le choix de tout portefeuille sur la frontière efficiente dépend des préférences de risque de l'investisseur.

Un portefeuille au-dessus de la frontière efficiente est impossible, tandis qu'un portefeuille en dessous de la frontière efficiente est inefficace.

Portefeuille complet et ligne d'allocation de capital

Dans la construction de portefeuilles, les investisseurs combinent souvent des actifs risqués avec des actifs sans risque (tels que des obligations d'État) pour réduire les risques. Un portefeuille complet est défini comme une combinaison d'un portefeuille d'actifs risqués, avec un rendement R p , et l'actif sans risque, avec un rendement R f .

Le rendement attendu d'un portefeuille complet est donné comme suit:

E (R c ) = w p E (R p ) + (1 - w p ) R f

Et la variance et l'écart type du rendement complet du portefeuille sont donnés comme suit:

Var (R c ) = w2 p Var (R p ), σ (R c ) = w p σ (R p ),

où w p est la fraction investie dans le portefeuille d'actifs risqués.

Alors que le rendement excédentaire attendu d'un portefeuille complet est calculé comme suit:

E (R c ) - R f ,

si nous substituons E (R c ) par la formule précédente, nous obtenons w p (E (R p ) - R f ).

L'écart type du portefeuille complet est σ (R c ) = w p σ (R p ), ce qui nous donne:

w p = σ (R c ) / σ (R p )

Par conséquent, pour chaque portfolio complet:

Ou E (R c ) = R f + S p σ (R c ), où S p =

La ligne E (R c ) = R f + S p σ (R c ) est la ligne d'allocation du capital (CAL). La pente de la droite, S p , s'appelle le ratio de Sharpe Ratio de Sharpe Le ratio de Sharpe est une mesure du rendement ajusté au risque, qui compare le rendement excédentaire d'un investissement à son écart-type des rendements. Le ratio de Sharpe est couramment utilisé pour évaluer la performance d'un investissement en ajustant son risque. , ou ratio récompense / risque. Le ratio de Sharpe mesure l'augmentation du rendement attendu par unité d'écart-type supplémentaire.

Portefeuille optimal

Le portefeuille optimal se compose d'un actif sans risque et d'un portefeuille d'actifs risqués optimal. Le portefeuille d'actifs risqués optimal se situe au point où la CAL est tangente à la frontière efficiente. Ce portefeuille est optimal car la pente de CAL est la plus élevée, ce qui signifie que nous obtenons les rendements les plus élevés par unité de risque supplémentaire. Le graphique ci-dessous illustre ceci:

portefeuille optimal

Les poids du portefeuille tangent sont calculés comme suit:

Résumé de la ligne d'allocation du capital

Les investisseurs utilisent à la fois la frontière efficace et la CAL pour obtenir différentes combinaisons de risque et de rendement en fonction de ce qu'ils désirent. Le portefeuille risqué optimal se trouve au point où la CAL est tangente à la frontière efficiente. Cette combinaison de pondération des actifs donne le meilleur rapport risque / rendement, car elle a la pente la plus élevée pour CAL.

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Ressources supplémentaires

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  • Profil de carrière de la gestion de portefeuille Gestion de portefeuille Profil de carrière La gestion de portefeuille consiste à gérer des investissements et des actifs pour des clients, notamment des fonds de pension, des banques, des fonds spéculatifs et des family offices. Le gestionnaire de portefeuille est responsable du maintien de la répartition de l'actif et de la stratégie de placement qui conviennent aux besoins du client. Salaire, compétences,
  • Prime de risque de marché Prime de risque de marché La prime de risque de marché est le rendement supplémentaire qu'un investisseur attend de la détention d'un portefeuille de marché risqué au lieu d'actifs sans risque.
  • Définition du ratio de Sharpe Ratio de Sharpe Le ratio de Sharpe est une mesure du rendement ajusté au risque, qui compare le rendement excédentaire d'un investissement à son écart type des rendements. Le ratio de Sharpe est couramment utilisé pour évaluer la performance d'un investissement en ajustant son risque.
  • Calculateur de ratio de Sharpe Calculateur de ratio de Sharpe Le calculateur de ratio de Sharpe vous permet de mesurer le rendement ajusté en fonction du risque d'un investissement. Téléchargez le modèle Excel de Finance et le calculateur de ratio de Sharpe. Ratio de Sharpe = (Rx - Rf) / StdDev Rx. Où: Rx = rendement attendu du portefeuille, Rf = taux de rendement sans risque, StdDev Rx = écart type du rendement / volatilité du portefeuille

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