Qu'est-ce que le modèle Black-Scholes-Merton?

Le modèle Black-Scholes-Merton (BSM) est un modèle de tarification des instruments financiers. Il est utilisé pour la valorisation des stock-options. Le modèle BSM est utilisé pour déterminer le juste prix des stock-options en fonction de six variables: la volatilité La volatilité La volatilité est une mesure du taux de fluctuation du prix d'un titre dans le temps. Il indique le niveau de risque associé aux variations de prix d'un titre. Les investisseurs et les traders calculent la volatilité d'un titre pour évaluer les variations passées des prix, le type, le cours de l'action sous-jacente, le prix d'exercice Prix d'exercice Le prix d'exercice est le prix auquel le détenteur de l'option peut exercer l'option d'achat ou de vente d'un sous-jacent sécurité, selon qu’ils détiennent une option d’achat ou une option de vente. Une option est un contrat avec le droit d'exercer le contrat à un prix spécifique,qui est connu comme le prix d'exercice. , temps et taux sans risque. Il repose sur le principe de la couverture et se concentre sur l'élimination des risques liés à la volatilité des actifs sous-jacents et des stock-options.

L'équation de Black-Scholes-Merton

Le modèle de Black-Scholes-Merton peut être décrit comme une équation différentielle partielle du second ordre.

L'équation décrit le prix des options d'achat d'actions au fil du temps.

Tarification d'une option d'achat

Le prix d'une option d'achat C est donné par la formule suivante:

Où:

Tarification d'une option de vente

Le prix d'une option de vente P est donné par la formule suivante:

Où:

• N - Fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard. Il représente une distribution normale standard avec moyenne = 0 et écart type = 1
• Tt - Temps de maturité (en années)
• S _t - Prix au comptant de l'actif sous-jacent
• K - Prix de levée
• r - Taux sans risque
• Ó - Volatilité des rendements de l'actif sous-jacent

Hypothèses du modèle Black-Scholes-Merton

• Distribution log-normale : Le modèle Black-Scholes-Merton suppose que les cours des actions suivent une distribution log-normale basée sur le principe que les prix des actifs ne peuvent pas prendre une valeur négative; ils sont bornés par zéro.
• Pas de dividendes : le modèle BSM suppose que les actions ne versent aucun dividende ou rendement.
• Date d'expiration : le modèle suppose que les options ne peuvent être exercées qu'à sa date d'expiration ou d'échéance. Par conséquent, il n'évalue pas précisément les options américaines. Il est largement utilisé sur le marché européen des options.
• Random walk : Le marché boursier est très volatil, et par conséquent, un état de marche aléatoire Théorie de marche aléatoire La théorie de marche aléatoire ou l'hypothèse de marche aléatoire est un modèle mathématique du marché boursier. Les partisans de la théorie estiment que les prix de sont supposés que la direction du marché ne peut jamais vraiment être prédite.
• Marché sans friction : aucun coût de transaction, y compris la commission et le courtage, n'est supposé dans le modèle BSM.
• Taux d'intérêt sans risque : les taux d'intérêt sont supposés constants, ce qui fait de l'actif sous-jacent un actif sans risque.
• Distribution normale : les rendements des actions sont normalement distribués. Cela implique que la volatilité du marché est constante dans le temps.
• Pas d'arbitrage : il n'y a pas d'arbitrage. Cela évite la possibilité de réaliser un profit sans risque.

Limitations du modèle Black-Scholes-Merton

• Limité au marché européen : comme mentionné précédemment, le modèle Black-Scholes-Merton est un déterminant précis des prix des options européennes. Il n'évalue pas avec précision les options d'achat d'actions aux États-Unis. C'est parce qu'il suppose que les options ne peuvent être exercées qu'à sa date d'expiration / d'échéance.
• Taux d'intérêt sans risque : le modèle BSM suppose des taux d'intérêt constants, mais ce n'est presque jamais la réalité.
• Hypothèse d'un marché sans friction : le trading s'accompagne généralement de frais de transaction tels que les frais de courtage, la commission Commission La commission désigne la rémunération versée à un salarié après avoir accompli une tâche, qui consiste, souvent, à vendre un certain nombre de produits ou de services, etc. , le modèle Black Scholes Merton suppose un marché sans friction, ce qui signifie qu'il n'y a pas de coûts de transaction. Ce n'est presque jamais la réalité sur le marché commercial.
• Aucun retour : le modèle BSM suppose qu'il n'y a aucun retour associé aux stock-options. Il n'y a pas de dividendes ni de revenus d'intérêts. Cependant, ce n'est pas le cas sur le marché commercial réel. L'achat et la vente d'options sont principalement axés sur les rendements.

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• Options: Appels et Puts Options: Appels et Puts Une option est une forme de contrat dérivé qui donne à son détenteur le droit, mais pas l'obligation, d'acheter ou de vendre un actif à une certaine date (date d'expiration) à un prix spécifié (grève prix). Il existe deux types d'options: les appels et les put. Les options américaines peuvent être exercées à tout moment
• Taux sans risque Taux sans risque Le taux de rendement sans risque est le taux d'intérêt qu'un investisseur peut s'attendre à gagner sur un investissement qui comporte un risque nul. Dans la pratique, le taux sans risque est généralement considéré comme égal aux intérêts payés sur un bon du Trésor public à 3 mois, généralement l'investissement le plus sûr qu'un investisseur puisse faire.
• Prix ​​au comptant Prix au comptant Le prix au comptant est le prix actuel du marché d'un titre, d'une devise ou d'un produit disponible pour être acheté / vendu pour un règlement immédiat. En d'autres termes, c'est le prix auquel les vendeurs et les acheteurs évaluent actuellement un actif.